Congruences et puissance - Corrigé

Énoncé

1. Étudier les congruences des puissances de \(9\) modulo \(13\) .

2. En déduire le reste dans la division euclidienne de \(2024^{2024}\) par \(13\) .

Solution

1. On a : \(9 \equiv 9 \ [13]\) ;  \(9^2 \equiv 81 \equiv 3 \ [13]\) ; \(9^3 \equiv 729 \equiv 1 \ [13]\) ; \(9^4 \equiv 6~561 \equiv 9 \ [13]\) ; \(9^5 \equiv 59~049 \equiv 3 \ [13]\) ; etc.

2. On a \(2024 \equiv 9 \ [13]\)  car \(2024=13 \times 155+9\) , donc \(2024^{2024} \equiv 9^{2024} \ [13]\) . 
Or \(2024=3 \times 674+2\)  
donc  \(\begin{align*} 2024^{2024} \equiv 9^{2024} \equiv 9^{3 \times 674+2} \equiv (9^3)^{674} \times 9^2 \equiv 1^{674} \times 3 \equiv 1 \times 3 \equiv 3 \ [13] \end{align*}\)  
donc le reste dans la division euclidienne de \(2024^{2024}\) par \(13\) vaut \(3\) .